① 笔记本连接显示器网速变慢
这两者不搭界，不会彼此影响。
是别的原因。有可能是显卡和显存的原因，特别是集成显卡，往往显存偏小，需要分一部分内存做显存，如果内存资源有限，再分出一部分（虽然系统会自动把硬盘分一部分做虚拟内存，但要经常访问硬盘，数据的读取、计算速度要慢许多）后再运行软件就显得捉襟见肘，会影响软件的运行，表现出速度慢。在连接显示器后，显卡对显示数据的计算量要增加许多，相对对显存的需求也大，进而对内存的消耗也大。如果机器的配置不充分，这种情况就更加明显。
② 笔记本电脑连接外接显示屏后网速变慢
一般来讲，显卡和网卡相互影响的程度应该不大啊。
首先，你要先确定是不是网速真的降低了，排除主观因素干扰：用同一个测速软件在同一时段测速试验一下，应该误差不超过10%
如果网速真的有影响，看看是不是第二个显示设备吃了内存，因为内存低导致的网络速度变慢。
你只连接第二块显示设备（不要复制、不要扩展），分辨率降到1024x768测试一下，看看这种低端配置下的网络速度、
如果这时候网络速度不慢，应该就是机器配置（或系统资源占据过多）导致的。
还是没变化的话，试试更新显卡和网卡驱动试试，排除一下某个版本的驱动bug或者特异性不兼容