如何做神經網路模型

1. 如何建立神經網路模型

人工神經網路有很多種，我只會最常用的BP神經網路。不同的網路有不同的結構和不同的學習演算法。
簡單點說，人工神經網路就是一個函數。只是這個函數有別於一般的函數。它比普通的函數多了一個學習的過程。
在學習的過程中，它根據正確結果不停地校正自己的網路結構，最後達到一個滿意的精度。這時，它才開始真正的工作階段。
學習人工神經網路最好先安裝MathWords公司出的MatLab軟體。利用該軟體，你可以在一周之內就學會建立你自己的人工神經網路解題模型。
如果你想自己編程實現人工神經網路，那就需要找一本有關的書籍，專門看神經網路學習演算法的那部分內容。因為「學習演算法」是人工神經網路的核心。最常用的BP人工神經網路，使用的就是BP學習演算法。

2. （急）如何用MATLAB建立ANN（人工神經網路模型）

問題描述：
有兩個自變數，一個因變數，10個樣本（這里就取少一點好了）。用實際問題來表述，假設一個股票，開盤價 x1，收盤價 x2，第二天的股價 y。 那用神經網路來預測的目的是，根據10天的開盤價和收盤價，來預測未來股價。顯然，這里的y與x1和x2相關，我們要訓練一個網路（net）來讓他盡可能的預測一個y

MATLAB程序

clc
clear
load data input output
%input就是包含了x1和x2 10天數據的矩陣，說白了就是20個數的矩陣。output是y的一個向量，%10個數
%需要自己找一些數據賦值給input和ouput

P=input;
T=output;
%這里P和T必須是 x1 x2和y的行向量組合。對於P，x1是行向量，x2是行向量。P=[x1;x2]; T=y. y是行向量

Epochs=5000;
NodeNum=12; TypeNum=1;
TF1='logsig'; TF2='purelin';
%設置一些初始參數，Epochs是迭代上限次數，NodeNum是第一個隱藏層的神經元個數，%TypeNum是幾層。TF1和TF2分別定義了幾個傳遞函數。

net=newff(minmax(P),[NodeNum TypeNum],{TF1 TF2},'trainlm');
%建立一個神經網路，訓練輸入和輸出數據都有了，設置隱藏層的個數。

net.trainParam.epochs=Epochs;
net.trainParam.goal=1e-4;
net.trainParam.min_grad=1e-4;
net.trainParam.show=200;
net.trainParam.time=inf;
%設置一些訓練時的參數，第一個是每次訓練的最大迭代次數；

net=train(net,P,T);
%開始網路訓練

P_test=P;
B_test=T;
%就用原始的數據進行測試

X=sim(net,P_test);
%測試

Erro=abs(B_test-X);
sigma=std(Erro);
%計算出預測值和實際值的誤差，求出方差。將來方差可以用來隨機調整

3. 如何用MATLAB神經網路工具箱創建BP神經網路模型

1． 常用的前饋型BP網路的轉移函數有logsig，tansig，有時也會用到線性函數purelin。當網路的最後一層採用曲線函數時，輸出被限制在一個很小的范圍內，如果採用線性函數則輸出可為任意值。以上三個函數是BP網路中最常用到的函數，但是如果需要的話你也可以創建其他可微的轉移函數。
2． 在BP網路中，轉移函數可求導是非常重要的，tansig、logsig和purelin都有對應的導函數dtansig、dlogsig和dpurelin。為了得到更多轉移函數的導函數，可以帶字元"deriv"的轉移函數：tansig('deriv')

4. 神經網路BP模型

一、BP模型概述

誤差逆傳播(Error Back-Propagation)神經網路模型簡稱為BP(Back-Propagation)網路模型。

Pall Werbas博士於1974年在他的博士論文中提出了誤差逆傳播學習演算法。完整提出並被廣泛接受誤差逆傳播學習演算法的是以Rumelhart和McCelland為首的科學家小組。他們在1986年出版「Parallel Distributed Processing，Explorations in the Microstructure of Cognition」(《並行分布信息處理》)一書中，對誤差逆傳播學習演算法進行了詳盡的分析與介紹，並對這一演算法的潛在能力進行了深入探討。

BP網路是一種具有3層或3層以上的階層型神經網路。上、下層之間各神經元實現全連接，即下層的每一個神經元與上層的每一個神經元都實現權連接，而每一層各神經元之間無連接。網路按有教師示教的方式進行學習，當一對學習模式提供給網路後，神經元的激活值從輸入層經各隱含層向輸出層傳播，在輸出層的各神經元獲得網路的輸入響應。在這之後，按減小期望輸出與實際輸出的誤差的方向，從輸入層經各隱含層逐層修正各連接權，最後回到輸入層，故得名「誤差逆傳播學習演算法」。隨著這種誤差逆傳播修正的不斷進行，網路對輸入模式響應的正確率也不斷提高。

BP網路主要應用於以下幾個方面：

1)函數逼近：用輸入模式與相應的期望輸出模式學習一個網路逼近一個函數；

2)模式識別：用一個特定的期望輸出模式將它與輸入模式聯系起來；

3)分類：把輸入模式以所定義的合適方式進行分類；

4)數據壓縮：減少輸出矢量的維數以便於傳輸或存儲。

在人工神經網路的實際應用中，80%～90%的人工神經網路模型採用BP網路或它的變化形式，它也是前向網路的核心部分，體現了人工神經網路最精華的部分。

二、BP模型原理

下面以三層BP網路為例，說明學習和應用的原理。

1.數據定義

P對學習模式(x_p，d_p)，p=1，2，…，P；

輸入模式矩陣X[N][P]=(x₁，x₂，…，x_P)；

目標模式矩陣d[M][P]=(d₁，d₂，…，d_P)。

三層BP網路結構

輸入層神經元節點數S0=N，i=1，2，…，S0；

隱含層神經元節點數S1，j=1，2，…，S1；

神經元激活函數f1[S1]；

權值矩陣W1[S1][S0]；

偏差向量b1[S1]。

輸出層神經元節點數S2=M，k=1，2，…，S2；

神經元激活函數f2[S2]；

權值矩陣W2[S2][S1]；

偏差向量b2[S2]。

學習參數

目標誤差ϵ；

初始權更新值Δ₀；

最大權更新值Δ_max；

權更新值增大倍數η⁺；

權更新值減小倍數η^-。

2.誤差函數定義

對第p個輸入模式的誤差的計算公式為

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

y2_kp為BP網的計算輸出。

3.BP網路學習公式推導

BP網路學習公式推導的指導思想是，對網路的權值W、偏差b修正，使誤差函數沿負梯度方向下降，直到網路輸出誤差精度達到目標精度要求，學習結束。

各層輸出計算公式

輸入層

y0_i=x_i，i=1，2，…，S0；

隱含層

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

y1_j=f1(z1_j)，

j=1，2，…，S1；

輸出層

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

y2_k=f2(z2_k)，

k=1，2，…，S2。

輸出節點的誤差公式

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

對輸出層節點的梯度公式推導

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

E是多個y2_m的函數，但只有一個y2_k與w_kj有關，各y2_m間相互獨立。

其中

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

則

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

設輸出層節點誤差為

δ2_k=(d_k-y2_k)·f2′(z2_k)，

則

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

同理可得

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

對隱含層節點的梯度公式推導

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

E是多個y2_k的函數，針對某一個w1_ji，對應一個y1_j，它與所有的y2_k有關。因此，上式只存在對k的求和，其中

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

則

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

設隱含層節點誤差為

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

則

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

同理可得

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

4.採用彈性BP演算法(RPROP)計算權值W、偏差b的修正值ΔW，Δb

1993年德國 Martin Riedmiller和Heinrich Braun 在他們的論文「A Direct Adaptive Method for Faster Backpropagation Learning：The RPROP Algorithm」中，提出Resilient Backpropagation演算法——彈性BP演算法(RPROP)。這種方法試圖消除梯度的大小對權步的有害影響，因此，只有梯度的符號被認為表示權更新的方向。

權改變的大小僅僅由權專門的「更新值」

確定

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

其中

表示在模式集的所有模式(批學習)上求和的梯度信息，(t)表示t時刻或第t次學習。

權更新遵循規則：如果導數是正(增加誤差)，這個權由它的更新值減少。如果導數是負，更新值增加。

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

RPROP演算法是根據局部梯度信息實現權步的直接修改。對於每個權，我們引入它的

各自的更新值

，它獨自確定權更新值的大小。這是基於符號相關的自適應過程，它基

於在誤差函數E上的局部梯度信息，按照以下的學習規則更新

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

其中0＜η^-＜1＜η⁺。

在每個時刻，如果目標函數的梯度改變它的符號，它表示最後的更新太大，更新值

應由權更新值減小倍數因子η^-得到減少；如果目標函數的梯度保持它的符號，更新值應由權更新值增大倍數因子η⁺得到增大。

為了減少自由地可調參數的數目，增大倍數因子η⁺和減小倍數因子η^–被設置到固定值

η⁺=1.2，

η^-=0.5，

這兩個值在大量的實踐中得到了很好的效果。

RPROP演算法採用了兩個參數：初始權更新值Δ₀和最大權更新值Δ_max

當學習開始時，所有的更新值被設置為初始值Δ₀，因為它直接確定了前面權步的大小，它應該按照權自身的初值進行選擇，例如，Δ₀=0.1(默認設置)。

為了使權不至於變得太大，設置最大權更新值限制Δ_max，默認上界設置為

Δ_max=50.0。

在很多實驗中，發現通過設置最大權更新值Δ_max到相當小的值，例如

Δ_max=1.0。

我們可能達到誤差減小的平滑性能。

5.計算修正權值W、偏差b

第t次學習，權值W、偏差b的的修正公式

W^(t)=W^(t-1)+ΔW^(t)，

b^(t)=b^(t-1)+Δb^(t)，

其中，t為學習次數。

6.BP網路學習成功結束條件每次學習累積誤差平方和

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

每次學習平均誤差

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

當平均誤差MSE＜ε，BP網路學習成功結束。

7.BP網路應用預測

在應用BP網路時，提供網路輸入給輸入層，應用給定的BP網路及BP網路學習得到的權值W、偏差b，網路輸入經過從輸入層經各隱含層向輸出層的「順傳播」過程，計算出BP網的預測輸出。

8.神經元激活函數f

線性函數

f(x)=x，

f′(x)=1，

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(-∞，+∞)。

一般用於輸出層，可使網路輸出任何值。

S型函數S(x)

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(0，1)。

f′(x)=f(x)[1-f(x)]，

f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(0，

]。

一般用於隱含層，可使范圍(-∞，+∞)的輸入，變成(0，1)的網路輸出，對較大的輸入，放大系數較小；而對較小的輸入，放大系數較大，所以可用來處理和逼近非線性的輸入/輸出關系。

在用於模式識別時，可用於輸出層，產生逼近於0或1的二值輸出。

雙曲正切S型函數

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(-1，1)。

f′(x)=1-f(x)·f(x)，

f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(0，1]。

一般用於隱含層，可使范圍(-∞，+∞)的輸入，變成(-1，1)的網路輸出，對較大的輸入，放大系數較小；而對較小的輸入，放大系數較大，所以可用來處理和逼近非線性的輸入/輸出關系。

階梯函數

類型1

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{0，1}。

f′(x)=0。

類型2

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{-1，1}。

f′(x)=0。

斜坡函數

類型1

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍[0，1]。

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{0，1}。

類型2

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍[-1，1]。

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{0，1}。

三、總體演算法

1.三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)權值W、偏差b初始化總體演算法

(1)輸入參數X[N][P]，S₀，S₁，f₁[S₁]，S₂，f₂[S₂]；

(2)計算輸入模式X[N][P]各個變數的最大值，最小值矩陣 X_max[N]，X_min[N]；

(3)隱含層的權值W₁，偏差b₁初始化。

情形1：隱含層激活函數f( )都是雙曲正切S型函數

1)計算輸入模式X[N][P]的每個變數的范圍向量X_rng[N]；

2)計算輸入模式X的每個變數的范圍均值向量X_mid[N]；

3)計算W，b的幅度因子W_mag；

4)產生[-1，1]之間均勻分布的S₀×1維隨機數矩陣R_and[S₁]；

5)產生均值為0，方差為1的正態分布的S₁×S₀維隨機數矩陣Randnr[S₁][S₀]，隨機數范圍大致在[-1，1]；

6)計算W[S₁][S₀]，b[S₁]；

7)計算隱含層的初始化權值W₁[S₁][S₀]；

8)計算隱含層的初始化偏差b₁[S₁]；

9))輸出W₁[S₁][S₀]，b₁[S₁]。

情形2：隱含層激活函數f( )都是S型函數

1)計算輸入模式X[N][P]的每個變數的范圍向量X_rng[N]；

2)計算輸入模式X的每個變數的范圍均值向量X_mid[N]；

3)計算W，b的幅度因子W_mag；

4)產生[-1，1]之間均勻分布的S₀×1維隨機數矩陣R_and[S₁]；

5)產生均值為0，方差為1的正態分布的S₁×S₀維隨機數矩陣R_andnr[S₁][S₀]，隨機數范圍大致在[-1，1]；

6)計算W[S₁][S₀]，b[S₁]；

7)計算隱含層的初始化權值W₁[S₁][S₀]；

8)計算隱含層的初始化偏差b₁[S₁]；

9)輸出W₁[S₁][S₀]，b₁[S₁]。

情形3：隱含層激活函數f( )為其他函數的情形

1)計算輸入模式X[N][P]的每個變數的范圍向量X_rng[N]；

2)計算輸入模式X的每個變數的范圍均值向量X_mid[N]；

3)計算W，b的幅度因子W_mag；

4)產生[-1，1]之間均勻分布的S₀×1維隨機數矩陣R_and[S₁]；

5)產生均值為0，方差為1的正態分布的S₁×S₀維隨機數矩陣R_andnr[S₁][S₀]，隨機數范圍大致在[-1，1]；

6)計算W[S₁][S₀]，b[S₁]；

7)計算隱含層的初始化權值W₁[S₁][S₀]；

8)計算隱含層的初始化偏差b₁[S₁]；

9)輸出W₁[S₁][S₀]，b₁[S₁]。

(4)輸出層的權值W₂，偏差b₂初始化

1)產生[-1，1]之間均勻分布的S₂×S₁維隨機數矩陣W₂[S₂][S₁]；

2)產生[-1，1]之間均勻分布的S₂×1維隨機數矩陣b₂[S₂]；

3)輸出W₂[S₂][S₁]，b₂[S₂]。

2.應用彈性BP演算法(RPROP)學習三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)權值W、偏差b總體演算法

函數：Train3BP_RPROP(S₀，X，P，S₁，W₁，b₁，f₁，S₂，W₂，b₂，f₂，d，TP)

(1)輸入參數

P對模式(x_p，d_p)，p=1，2，…，P；

三層BP網路結構；

學習參數。

(2)學習初始化

1)

；

2)各層W，b的梯度值

，

初始化為零矩陣。

(3)由輸入模式X求第一次學習各層輸出y₀，y₁，y₂及第一次學習平均誤差MSE

(4)進入學習循環

epoch=1

(5)判斷每次學習誤差是否達到目標誤差要求

如果MSE＜ϵ，

則，跳出epoch循環，

轉到(12)。

(6)保存第epoch-1次學習產生的各層W，b的梯度值

，

(7)求第epoch次學習各層W，b的梯度值

，

1)求各層誤差反向傳播值δ；

2)求第p次各層W，b的梯度值

，

；

3)求p=1，2，…，P次模式產生的W，b的梯度值

，

的累加。

(8)如果epoch=1，則將第epoch-1次學習的各層W，b的梯度值

，

設為第epoch次學習產生的各層W，b的梯度值

，

。

(9)求各層W，b的更新

1)求權更新值Δ_ij更新；

2)求W，b的權更新值

，

；

3)求第epoch次學習修正後的各層W，b。

(10)用修正後各層W、b，由X求第epoch次學習各層輸出y₀，y₁，y₂及第epoch次學習誤差MSE

(11)epoch=epoch+1，

如果epoch≤MAX_EPOCH，轉到(5)；

否則，轉到(12)。

(12)輸出處理

1)如果MSE＜ε，

則學習達到目標誤差要求，輸出W₁，b₁，W₂，b₂。

2)如果MSE≥ε，

則學習沒有達到目標誤差要求，再次學習。

(13)結束

3.三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)預測總體演算法

首先應用Train3lBP_RPROP( )學習三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)權值W、偏差b，然後應用三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)預測。

函數：Simu3lBP( )。

1)輸入參數：

P個需預測的輸入數據向量x_p，p=1，2，…，P；

三層BP網路結構；

學習得到的各層權值W、偏差b。

2)計算P個需預測的輸入數據向量x_p(p=1，2，…，P)的網路輸出 y₂[S₂][P]，輸出預測結果y₂[S₂][P]。

四、總體演算法流程圖

BP網路總體演算法流程圖見附圖2。

五、數據流圖

BP網數據流圖見附圖1。

六、實例

實例一 全國銅礦化探異常數據BP 模型分類

1.全國銅礦化探異常數據准備

在全國銅礦化探數據上用穩健統計學方法選取銅異常下限值33.1，生成全國銅礦化探異常數據。

2.模型數據准備

根據全國銅礦化探異常數據，選取7類33個礦點的化探數據作為模型數據。這7類分別是岩漿岩型銅礦、斑岩型銅礦、矽卡岩型、海相火山型銅礦、陸相火山型銅礦、受變質型銅礦、海相沉積型銅礦，另添加了一類沒有銅異常的模型(表8-1)。

3.測試數據准備

全國化探數據作為測試數據集。

4.BP網路結構

隱層數2，輸入層到輸出層向量維數分別為14，9、5、1。學習率設置為0.9，系統誤差1e-5。沒有動量項。

表8-1 模型數據表

續表

5.計算結果圖

如圖8-2、圖8-3。

圖8-2

圖8-3 全國銅礦礦床類型BP模型分類示意圖

實例二 全國金礦礦石量品位數據BP 模型分類

1.模型數據准備

根據全國金礦儲量品位數據，選取4類34個礦床數據作為模型數據，這4類分別是綠岩型金礦、與中酸性浸入岩有關的熱液型金礦、微細浸染型型金礦、火山熱液型金礦(表8-2)。

2.測試數據准備

模型樣本點和部分金礦點金屬量、礦石量、品位數據作為測試數據集。

3.BP網路結構

輸入層為三維，隱層1層，隱層為三維，輸出層為四維，學習率設置為0.8，系統誤差1e-4，迭代次數5000。

表8-2 模型數據

4.計算結果

結果見表8-3、8-4。

表8-3 訓練學習結果

表8-4 預測結果(部分)

續表

5. 如何在R語言中進行神經網路模型的建立

不能發鏈接，所以我復制過來了。

#載入程序和數據
library(RSNNS)
data(iris)
#將數據順序打亂
iris <- iris[sample(1:nrow(iris),length(1:nrow(iris))),1:ncol(iris)]
#定義網路輸入
irisValues <- iris[,1:4]
#定義網路輸出，並將數據進行格式轉換
irisTargets <- decodeClassLabels(iris[,5])
#從中劃分出訓練樣本和檢驗樣本
iris <- splitForTrainingAndTest(irisValues, irisTargets, ratio=0.15)
#數據標准化
iris <- normTrainingAndTestSet(iris)
#利用mlp命令執行前饋反向傳播神經網路演算法
model <- mlp(iris$inputsTrain, iris$targetsTrain, size=5, learnFunc="Quickprop", learnFuncParams=c(0.1, 2.0, 0.0001, 0.1),maxit=100, inputsTest=iris$inputsTest, targetsTest=iris$targetsTest)
#利用上面建立的模型進行預測
predictions <- predict(model,iris$inputsTest)
#生成混淆矩陣，觀察預測精度
confusionMatrix(iris$targetsTest,predictions)
#結果如下：
# predictions
#targets 1 2 3
# 1 8 0 0
# 2 0 4 0
# 3 0 1 10

6. 如何建立bp神經網路預測 模型

建立BP神經網路預測 模型，可按下列步驟進行：

1、提供原始數據

2、訓練數據預測數據提取及歸一化

3、BP網路訓練

4、BP網路預測

5、結果分析

現用一個實際的例子，來預測2015年和2016年某地區的人口數。

已知2009年——2014年某地區人口數分別為3583、4150、5062、4628、5270、5340萬人

執行BP_main程序，得到

[ 2015, 5128.631704710423946380615234375]

[ 2016, 5100.5797325642779469490051269531]

代碼及圖形如下。

7. 如何用matlab構建一個三層bp神經網路模型，用於預測溫度。

第0節、引例
本文以Fisher的Iris數據集作為神經網路程序的測試數據集。Iris數據集可以在http://en.wikipedia.org/wiki/Iris_flower_data_set 找到。這里簡要介紹一下Iris數據集：
有一批Iris花，已知這批Iris花可分為3個品種，現需要對其進行分類。不同品種的Iris花的花萼長度、花萼寬度、花瓣長度、花瓣寬度會有差異。我們現有一批已知品種的Iris花的花萼長度、花萼寬度、花瓣長度、花瓣寬度的數據。
一種解決方法是用已有的數據訓練一個神經網路用作分類器。
如果你只想用C#或Matlab快速實現神經網路來解決你手頭上的問題，或者已經了解神經網路基本原理，請直接跳到第二節——神經網路實現。

第一節、神經網路基本原理
1. 人工神經元( Artificial Neuron )模型
人工神經元是神經網路的基本元素，其原理可以用下圖表示：

圖1. 人工神經元模型

圖中x1~xn是從其他神經元傳來的輸入信號，wij表示表示從神經元j到神經元i的連接權值，θ表示一個閾值 ( threshold )，或稱為偏置( bias )。則神經元i的輸出與輸入的關系表示為：

圖中 yi表示神經元i的輸出，函數f稱為激活函數 ( Activation Function )或轉移函數 ( Transfer Function ) ，net稱為凈激活(net activation)。若將閾值看成是神經元i的一個輸入x0的權重wi0，則上面的式子可以簡化為：

若用X表示輸入向量，用W表示權重向量，即：
X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ]

則神經元的輸出可以表示為向量相乘的形式：

若神經元的凈激活net為正，稱該神經元處於激活狀態或興奮狀態(fire)，若凈激活net為負，則稱神經元處於抑制狀態。
圖1中的這種「閾值加權和」的神經元模型稱為M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也稱為神經網路的一個處理單元( PE, Processing Element )。

2. 常用激活函數
激活函數的選擇是構建神經網路過程中的重要環節，下面簡要介紹常用的激活函數。
(1) 線性函數 ( Liner Function )

(2) 斜面函數 ( Ramp Function )

(3) 閾值函數 ( Threshold Function )

以上3個激活函數都屬於線性函數，下面介紹兩個常用的非線性激活函數。
(4) S形函數 ( Sigmoid Function )

該函數的導函數：

(5) 雙極S形函數

該函數的導函數：

S形函數與雙極S形函數的圖像如下：

圖3. S形函數與雙極S形函數圖像
雙極S形函數與S形函數主要區別在於函數的值域，雙極S形函數值域是(-1,1)，而S形函數值域是(0,1)。
由於S形函數與雙極S形函數都是可導的(導函數是連續函數)，因此適合用在BP神經網路中。（BP演算法要求激活函數可導）
具體http://blog.csdn.net/gongxq0124/article/details/7681000/

8. 2.搭建一個神經網路模型訓練MNIST手寫體數字數據集中遇到的問題及解決方法

批量輸入後，如何使用numpy矩陣計算的方法計算各權值梯度，提高計算速度

def backprop(self, x, y): #x為多維矩陣。每列為一個x值。 y為多維矩陣。每列為一個y值。

batch_num=x.shape[1]

#print(x.shape)

#print(y.shape)

"""創建兩個變數，用來存儲所有b值和所有w值對應的梯度值。初始化為0.nabla_b為一個list，形狀與biases的形狀完全一致。nabla_w 為一個list，形狀與weights的形狀完全一致。

"""

nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]

nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]

# feedforward

"""activations，用來所有中間層和輸出層在一次前向計算過程中的最終輸出值，即a值。該值記錄下來，以供後期使用BP演算法求每個b和w的梯度。

"""

activation = x #x為本批多個x為列組成的矩陣。

activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer

"""zs，用來所有中間層和輸出層在一次前向計算過程中的線性輸出值，即z值。該值記錄下來，以供後期使用BP演算法求每個b和w的梯度。

"""

zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer ，zs的每個元素為本batch的x對應的z為列構成的矩陣。

"""

通過一次正向計算，將中間層和輸出層所有的z值和a值全部計算出來，並存儲起來。供接下來求梯度使用。

"""

for b, w in zip(self.biases, self.weights):

#print(w.shape)

#print(np.dot(w, activation).shape)

#print(b.shape)

z = np.dot(w, activation)+b #z為本batch的x對應的z為列構成的矩陣。

zs.append(z)

activation = sigmoid(z)

activations.append(activation)

"""

以下部分是採用BP演算法求解每個可訓練參數的計算方法。是權重更新過程中的關鍵。

"""

# backward pass

# 求出輸出層的delta值

delta = ((activations[-1]-y) * sigmoid_prime(zs[-1]))

nabla_b[-1] = delta.mean(axis=1).reshape(-1, 1)

nabla_w[-1] =np.dot(delta,activations[-2].transpose())/batch_num

# Note that the variable l in the loop below is used a little

# differently to the notation in Chapter 2 of the book. Here,

# l = 1 means the last layer of neurons, l = 2 is the

# second-last layer, and so on. It's a renumbering of the

# scheme in the book, used here to take advantage of the fact

# that Python can use negative indices in lists.

for l in range(2, self.num_layers):

z = zs[-l]

sp = sigmoid_prime(z)

delta = (np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp)

nabla_b[-l] = delta.mean(axis=1).reshape(-1, 1)

nabla_w[-l] =np.dot(delta,activations[-l-1].transpose())/batch_num

return (nabla_b, nabla_w)

##梯度計算後，如何更新各權值

def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):

"""Update the network's weights and biases by applying

gradient descent using backpropagation to a single mini batch.

The ``mini_batch`` is a list of tuples ``(x, y)``, and ``eta``

is the learning rate."""

""" 初始化變數，去存儲各訓練參數的微分和。

"""

nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]

nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]

""" 循環獲取batch中的每個數據，獲取各訓練參數的微分，相加後獲得各訓練參數的微分和。

"""

x_batch=None

y_batch=None

for x, y in mini_batch:

if( x_batch is None):

x_batch=x

else:

x_batch=np.append(x_batch,x,axis=1)

if( y_batch is None):

y_batch=y

else:

y_batch=np.append(y_batch,y,axis=1)

delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x_batch, y_batch)

nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]

nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]

""" 使用各訓練參數的平均微分和與步長的乘積，去更新每個訓練參數

"""

self.weights = [w-eta*nw

for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]

self.biases = [b-eta*nb

for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]